電磁波の流れの密度を表すポインティングベクトルを見てみます。

x軸の正の方向に進行する電磁波で、y軸方向に振動している電場を考えます。

$$ \bf{E} = (0, E_y, 0) $$,
$$ E_y = E_0 \sin(kx – \omega t) $$

磁場は、z軸方向に振動します。

$$ \bf{H} = (0, 0, H_z) $$,
$$ H_z = H_0 \sin(kx – \omega t) $$
ここで、\( H_0 = \sqrt{ \frac{\epsilon_0 }{\mu_0} }E_0 \) です。

ここで、電場と磁場のベクトル積を考えます。

$$ \bf{S} = \bf{S} \times \bf{H} = (S_x, 0, 0)$$

これをポインティングベクトルと呼び、電場と磁場に垂直ばベクトルです。この場合、x成分だけが存在し、

$$ S_x = E_0 H_0 \sin^2 (kx – \omega t) $$

となります。

ここで、電磁波が運ぶエネルギー密度の波長あたりの平均を考えてみます。時刻ｔ＝０の時にxについて0からλまで積分し、λで割ることで平均を求めてみます。

$$ S_x = \frac{1}{\lambda} \int^\lambda_0 S_x dx = \frac{1}{2} \bf{E_0} \bf{H_0} $$

この値は、時間によりませんが、ある点xにおいて、1周期の時間平均をとった場合も同じ結果となります。

また、電磁場の電場エネルギーと磁場エネルギーの１周期にわたる時間平均は同様に計算して、次のようになります。

$$ \overline{\frac{1}{2} \epsilon_0 E^2_y} = \frac{1}{4} \epsilon_0 E^2_0 $$,
$$ \overline{\frac{1}{2} \mu_0 H^2_z} = \frac{1}{4} \mu_0 H^2_0 $$

この両者は等しいので、次が分かります。

$$ \frac{1}{2} E_0 H_0 = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2_0 \frac{1}{ \sqrt{\epsilon_0 \mu_0} } = c \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2_0 $$

これにより、

$$ \overline{S_x} = c( \overline{\frac{1}{2} \epsilon_0 E^2_y} + \overline{ \frac{1}{2} \mu_0 H^2_z}) $$

となり、電磁波のエネルギーがx軸方向へ高速で運ばれており、ポインティングベクトルであらわされることが分かります。