【基本】全反射

スネルの法則 \( \sin \phi_1 = (n_2 / n_1) \sin \phi_1 \) において、媒質1の屈折率が媒質2のそれより大きい場合(n1 > n2)、φ2の方がφ1より大き。ここで、φ2は90°以下であるから、この式を満足する最大の角度Φcは\( \sin \phi_c = n_2 / n_1\)です。この角度を臨界角と呼びます。入射角が臨界角以上では、入射光が全て反射します。この状態を全反射と呼びます。

ここで、全反射の状態(φc < φ1 < 90°)での振幅反射率を求めてみます。この時、φ2の実数解はありませんが、虚数解として

\begin{gather}
\cos \phi_2 = \pm i \sqrt{\frac{\sin^2 \phi_1}{n^2} – 1}
\end{gather}

があります。ここで、n2/n1を相対屈折率としてnで表示してあります。 このうち、正の解を、こちらで示した振幅屈折率の式に代入すると

$$ r_p \equiv R_p / A_p = \tan( \phi_1 – \phi_2 ) / \tan( \phi_1 + \phi_2) = \frac{n^2 \cos \phi_1 – i \sqrt{\sin^2 \phi_1 – n^2}}{n^2 \cos \phi_1 + i \sqrt{\sin^2 \phi_1 – n^2}}$$
$$ r_s \equiv R_s / A_s = – \sin( \phi_1 – \phi_2 ) / \sin( \phi_1 + \phi_2) = \frac{ \cos \phi_1 – i \sqrt{\sin^2 \phi_1 – n^2}}{ \cos \phi_1 + i \sqrt{\sin^2 \phi_1 – n^2}}$$

が得られます。振幅反射率が複素数で得られることから\(r_p \equiv |r_p| e^{i \theta_p}\), \(r_p \equiv |r_s| e^{i \theta_s}\)を使って表すと

$$ |r_p| = 1, \tan \frac{\theta_p}{2} = – \frac{\sqrt{\sin^2 \phi_1 – n^2}}{n^2 \cos \phi_1}$$
$$ |r_s| = 1, \tan \frac{\theta_s}{2} = – \frac{\sqrt{\sin^2 \phi_1 – n^2}}{ \cos \phi_1}$$

となります。反射率は1ですが、位相はΘp, Θsだけ変化することになります。

この位相差は、

$$ \theta \equiv \theta_p – \theta_s = \tan \frac{\theta}{2} = \frac{\cos \phi_1 \sqrt{\sin^2 \phi_1 – n^2}}{ \sin \phi_1}$$

となります。φ1=π/2, φcの時0となります。

また、極大値をとるφ1は、\(d(\tan (\theta / 2))/d \phi_1 = 0\)から、\(\sin^2 \phi_1 = 2n^2 / (1 + n^2)\)となることがわかります。この時、最大値は、\(\tan(\theta_{max}) = (1-n^2)/2n\)となります。

全反射では、p,sの位相が変化することから、遅相子を構成することができます。この代表例がフレネルロムです。

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