【基本】反射と屈折

光が異なる2つの媒質の境界に入射するときには、反射と屈折が発生します。この現象を下図を使ってみていきます。

光がxy平面にある媒質1(屈折率\(n_1\))から媒質2(屈折率\(n_2\))の境界に入社する場合を考えます。境界面で光の一部は反射し、一部は透過します。入射光、反射光、透過光の電界ベクトルをそれぞれ\(E_a, E_r, E_t\)とします。このベクトルのxz平面に平行な振動成分と、垂直な振動成分をそれぞれp,sで表します。

電界ベクトルのp成分は、次のように表されます。

\begin{gather}
E_{ap} = A_p \exp [ i \{ \omega t – k_1 (x \sin \phi_1 + z \cos \phi_1) \} ]
\end{gather}
\begin{gather}
E_{rp} = R_p \exp [ i \{ \omega t – k_1 (x \sin \phi^{‘}_1 + z \cos \phi^{‘}_1) \} ]
\end{gather}
\begin{gather}
E_{tp} = T_p \exp [ i \{ \omega t – k_2 (x \sin \phi_2 + z \cos \phi_2) \} ]
\end{gather}

ここで、\( \phi_1 , \phi^{‘}_1 , \phi_2 \)は、入射、反射、透過光の境界への角度、\(A_p , R_p , T_p\)はそれぞれ入射、反射、透過光の振幅、\( \omega \)は角振動数、\(k_1, k_2\)は媒質1,2での波数です。

境界線z=0において時刻tによらず位相が同じである必要がありますから、$$ k_1 \sin \phi_1 = k_1 \sin \phi^{‘}_1 = k_2 \sin \phi_2 $$ である必要があります。

この式の左辺と中辺より、$$ \phi_1 = \pi – \phi^{‘}_1 $$ が成り立ち、入射光と反射光の角度は、z軸に対して対称であることがわかります。

また、左辺と右辺より$$ k \equiv 2 \pi / \lambda $$ の定義を用いて、$$ \frac{\sin \phi_1}{\lambda_1} = \frac{\sin \phi_2}{\lambda_2} $$となります。

さらに、$$ \omega \equiv 2 \pi \nu , n \equiv c / v , v = \lambda \nu $$の関係を使うと、$$ n_1 \sin \phi_1 = n_2 \sin \phi_2 $$となります。この関係から、$$ \phi_1 \neq \phi_2 $$であることが分かります。つまり、境界面で透過した光はその進む方向が屈折します。これは、スネルの法則と呼ばれています。

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