電磁波である光は、進行方向と垂直に振動する横波で、その振動方向が空間的、時間的に変化（偏る）偏光という現象があります。これを見ていきます。

光がｚ方向へ伝搬していくとした場合、電界ベクトル\(E=(E_x, E_y, 0)\)を次のように表すものとします。

\begin{gather}
\mathbf{E} = \mathbf{E_0} e^{i (\omega t – k z)} \label{eq:1} \end{gather}

ここで、xy面内で振動する振幅は\(E_0 = (E_{0 x}, E_{0 y}, 0)\)とします。ある任意の時間のxyの成分は次のように表されます。

\begin{gather}
E_x = E_{0 x} e^{i (k z + \phi_x)} \label{eq:2} \end{gather}
\begin{gather}
E_y = E_{0 y} e^{i (k z + \phi_y)} \label{eq:3} \end{gather}

両者の初期位相差は、次のように表されます。

\begin{gather}
\phi \equiv \phi_x – \phi_y \label{eq:4} \end{gather}

この\( \phi \)の値によって、偏光状態が変わります。

(1)直線偏光

直線偏光を見ていきます。

\(\phi = 2m\pi\)（m:整数）の時、\(E_y = \frac{E_{y0}}{E_{x0}} E_x\)
\(\phi = (2m+1) \pi\)（m:整数）の時、\(E_y = – \frac{E_{y0}}{E_{x0}} E_x\)

このことから、xy平面で電界ベクトルの写像を考えますと、それぞれ傾き\(\frac{E_{y0}}{E_{x0}}\)、\(– \frac{E_{y0}}{E_{x0}}\)を持って直線的に振動することが分かります。

下図に、直線偏光のイメージを描いてあります。光はｚ軸（正）方向に進んでおり、進行方向と垂直に振動しています。振動の様子のxy平面への写像を赤線で記してあります。横波は七色に色付けしてありますが、これは、電場の動きを理解しやすくするためで、実際の色とは関係がありません。xy平面を見ますと、電界ベクトルがどのようなふるまいをしているのかわかります。直線偏光では、その名前が示す通り直線に振動していることが分かります。

(2)円偏光

次に、円偏光です。

\(E_x = E_y ( \equiv E), \phi = \pm (\pi / 2) + 2m \pi\)の時、

\begin{gather}
E_x = E cos( \omega t – k z + \phi_x) \end{gather}
\begin{gather}
E_x = \mp E sin( \omega t – k z + \phi_y) \end{gather}　（複号同順）

ですので、

\begin{gather}
E_x^2 + E_y^2 = E \end{gather}　

となります。つまり、xy平面への写像は円となります。\(\phi = (\pi / 2)+2m \pi \)の時、右回りとなり、\(\phi = -(\pi / 2)+2m \pi \)の時、左回りとなり、図は、Z軸（正）方向に右回りで進む波のイメージ例です。

(3)楕円偏光

最後に楕円偏光です。\(E_x \neq E_y\)で、\( \phi = \pm (\pi / 2) + 2m \pi\)（m:整数）の時、それぞれ右回り、左回りの楕円偏光となり、次のようになります。

\begin{gather}
\frac{E_{x0}}{E_x} + \frac{E_{y0}}{E_y} = 1 \end{gather}

また、\( \phi = \pm (\pi / 2) + 2m \pi\)ではないときには、

\begin{gather}
E_x = E cos( \omega t – k z + \phi_x) \end{gather}
\begin{gather}
E_x = \mp E sin( \omega t – k z + \phi_y + \phi) \end{gather}　

であり、楕円は次式で表されます。

\begin{gather}
\frac{E_{x0}}{E_x} + \frac{E_{y0}}{E_y} – 2 \frac{E_{x0} E_{y0}}{E_x E_y} cos{\phi}= sin^2{\phi} \end{gather}

下図に、長軸が傾いて右回りの楕円偏光のイメージを示します。

イメージ画像は、R言語にて作成しました。そのコードを記しておきます。楕円偏光の様子のコードです。

library("threejs")

x_min = -pi
x_max = pi
y_min = -3
y_max = 3
z_min = -3
z_max = 3

x <- seq(x_min, x_max, by=0.03)
y <- cos(x*3)
z <- cos(x*3 - pi/5)
x_zy <- rep(x_min, length(x))

axis_x_yz<-c(x_min, x_min, x_min, x_min, x_min, x_max)
axis_y_yz<-c(y_min, y_max, 0, 0, 0, 0)
axis_z_yz<-c(0, 0, z_min, z_max, 0, 0)

scatterplot3js(axis_x_yz, axis_y_yz, axis_z_yz, xlim=c(-3, 3), ylim=c(-3, 3), zlim=c(-3, 3), size = 0.1, color="blue", axisLabels=c("Z", "Y", "X")) %>%
  lines3d(c(1, 3, 5), c(2, 4, 6), color = "black", lwd=1) %>%
  points3d(x, y, z, size = 0.2, color=rainbow(length(z))) %>%
  points3d(x_zy, y, z, size = 0.1, color="red")