【基本】光の性質

1.Maxwell方程式

光の特性は、これを電磁波をみなして評価することが多いです。電磁波の振る舞いはMaxwellの方程式として知られ、以下の様に表されます。

\begin{gather}
\nabla \times \mathbf{E} = – \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \label{eq:1} \end{gather}
\begin{gather} \nabla \times \mathbf{H} =\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \label{eq:2} \end{gather}
\begin{gather} \nabla \cdot \mathbf{D} = 0 \label{eq:3} \end{gather}
\begin{gather} \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \label{eq:4} \end{gather}

ここで、\(E, H, D, B\)は、それぞれ電磁波の電界、磁界、電束密度、磁束密度を表すベクトルで、空間と時間の関数です。また、誘電率\(\epsilon\)と透磁率\(\mu\)を用いて、次の関係があります。

\begin{gather} \mathbf{D} = \epsilon \mathbf{E} \label{eq:5} \end{gather}
\begin{gather} \mathbf{B} = \mu \mathbf{H} \label{eq:6} \end{gather}

2.波動方程式の導出と光の速度

波動方程式を導出して光の性質を見ていきます。以降、真空または誘電体(電荷も電流もない透明媒体)を考えます。(よって、式(3)と式(4)が成り立っています。)

式(2)の両辺を時間で偏微分すると、

\begin{gather} \nabla \times \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} = \epsilon \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \label{eq:7} \end{gather}

となります。また、式(1)の両辺のrotをとり、式(7)を考慮すると、

\begin{gather}
\nabla \times \nabla \times \mathbf{E} = – \mu \nabla \times \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} = – \epsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \label{eq:8} \end{gather}

となります。ここで、ベクトル解析の公式より、

\begin{gather}
\nabla \times \nabla \times \mathbf{E} = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) – \nabla^2 \mathbf{E} = -\nabla^2 \mathbf{E}
\label{eq:9} \end{gather}

となります。式(8)と式(9)から、次の式が得られます。

\begin{gather}
\nabla^2 \mathbf{E} = \epsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}
\label{eq:10} \end{gather}

ここで、

\begin{gather}
\nu = 1 / \sqrt{\epsilon \mu}
\label{eq:11} \end{gather}

とすると、電界について次の関係が得られます。

\begin{gather}
\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{\nu^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}
\label{eq:12} \end{gather}

また、同様に磁界についても次の式が得られます。

\begin{gather}
\nabla^2 \mathbf{H} = \frac{1}{\nu^2} \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial t^2}
\label{eq:13} \end{gather}

式(12)と式(13)はともに、任意の関数が時間によって形を変えずに空間を移動する様子を表す波動方程式です。ちなみに、波動方程式は電磁波に限った方程式ではなく、すべての波を表す一般的な方程式です。例えば、弾性体中の縦波や、弦の振動、潮の満ち引き、電線を伝わる波なども表現します。\(\nu\)は、同じ位相の点が進む速度を表し、位相速度と呼ばれています。3次元の場合、波動の位相が等しい各点は曲面になり、この面を波面と呼んでいます。ただし、実際は媒質が移動するのではなく、単にその場で振動をしているだけです。

式(11)に真空の誘電率\(\epsilon_0\)と透磁率\(\mu_0\)を入れると、真空中の速度が求まります。

\begin{gather}
\epsilon_0 = 8.85418717 \times 10^{-12} [F/m]
\label{eq:14} \end{gather}
\begin{gather}
\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} [H/m]
\label{eq:15} \end{gather}

これより、光の速度は次の様に求まります。

\begin{gather}
c = 1 / \sqrt{\epsilon_0 \mu_0} = 2.99792458 \times 10^{8} [m/s]
\label{eq:16} \end{gather}

これは、とりもなおさず光が電磁波であることの証左です。今後、光を表すので、速度\(\nu\)をcとします。

3.波動方程式の一般解

波動方程式の一般解を見てみます。簡単のため、1次元で考えてみます。式(12)は、次の様に表されます。

\begin{gather}
\frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}
\label{eq:17} \end{gather}

この一般解は、次の様に波を表す関数\(f, g\)が時間tと変位xの一時結合となっています(検算をすれば簡単にわかります。)。

\begin{gather}
E = f(x – c t) + g(x + c t)
\label{eq:18} \end{gather}

つまり、fの時間に対する変化と位置に対する変化が同じということです。ということは、x軸(正)に対して起こった変化が、t軸(負)に対して起こるということです。これは、波が形を変えずに伝搬していく現象そのものです。

ただし、関数f,gが具体的にどのような形かは、この微分方程式だけからは分かりません。その形は最初の波形(初期条件)と境界での反射の条件(境界条件)によって定まります。一般に解は正弦関数や余弦関数を用いることが多いです。なぜなら、これらの関数によってすべての波を表現できるからです。

一般解のもつもう一つの重要な意味は、一時結合\(\xi = x – c t\)が一定値をとるなら、\(f(\xi)\)も一定値をとります。この場合、x-t平面で考えるとxはtに対して傾きcの直線となり、その直線に沿って波の変位が一定の部分が移動しているということです。つまり、\(f(\xi)\)は形を保ったままx軸(正)の方向へ速度cで進んでいくことになります。

ここまでは、1次元で現象を確認しましたが、これを空間内で考えるため3次元に拡張します。波動の進行方向を表す単位ベクトル\(\mathbf{e}\)と位置ベクトル\(\mathbf{r}\)を用いて、次のようにあらわされます。

\begin{gather}
\mathbf{E} = \mathbf{f}(\mathbf{e} \cdot \mathbf{r} – c t) + \mathbf{g}(\mathbf{e} \cdot \mathbf{r} + c t)
\label{eq:19} \end{gather}

eとrの内積により、その方向へ進んだ距離を表します。

4.横波

波動方程式の一般解から、電磁波が横波であることを確認します。式(3)と式(5)から、電界は発散しないことが分かります。すなわち、

\begin{gather}
\nabla \cdot \mathbf{E} =0 \label{eq:20} \end{gather}
\begin{gather}
\nabla \cdot (\mathbf{f}(\mathbf{e} \cdot \mathbf{r} – c t) + \mathbf{g}(\mathbf{e} \cdot \mathbf{r} + c t)) =0 \label{eq:21} \end{gather}\begin{gather}
\frac{\partial}{\partial x}(f_x + g_x) + \frac{\partial}{\partial y}(f_y + g_y) + \frac{\partial}{\partial z}(f_z + g_z) =0 \label{eq:22} \end{gather}
\begin{gather}
e_x(f’_x + g’_x) + e_y(f’_y + g’_y) + e_z(f’_z + g’_z) =0 \label{eq:23} \end{gather}
\begin{gather}
\mathbf{e} \cdot (\mathbf{f} + \mathbf{g}) =0 \label{eq:24} \end{gather}

ベクトルeとf+gの微分の内積が0ということは、電磁波の進行方向には電場は変化しないということです。すなわち、電場は進行方向と垂直方向にしか存在しえない、つまり、横波ということです。磁場についても同様なことが言えます。

5.電場と磁場

電場と磁場の関係を見てみます。簡単のため、z軸方向に進む電磁波でx方向の振幅成分だけがあるとします。つまり、

\begin{gather}
E_x = f(z-ct) + g(z+ct) \label{eq:25} \end{gather}
\begin{gather}
E_y =0 \label{eq:26} \end{gather}
\begin{gather}
E_z =0 \label{eq:27} \end{gather}

と表される電磁波を考えます。式(1)において、各成分に分解して考えます。

\begin{gather}
\frac{\partial E_y}{\partial z} – \frac{\partial E_z}{\partial y} + \frac{\partial B_x}{\partial t} = 0 \label{eq:28} \end{gather}
\begin{gather}
\frac{\partial E_x}{\partial z} – \frac{\partial E_z}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial t} = 0 \label{eq:29} \end{gather}
\begin{gather}
\frac{\partial E_y}{\partial x} – \frac{\partial E_x}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial t} = 0 \label{eq:30} \end{gather}

ここで、式(25)、(26)、(27)を代入すると、

\begin{gather}
\frac{\partial B_x}{\partial t} = 0 \label{eq:31} \end{gather}
\begin{gather}
\frac{\partial B_y}{\partial t} = – f'(z-ct) – g'(z+ct) \label{eq:32} \end{gather}
\begin{gather}
\frac{\partial B_z}{\partial t} = 0 \label{eq:33} \end{gather}

となります。tで積分すると、次の式となります。

\begin{gather}
\partial B_y= \frac{1}{c} f(z-ct) – \frac{1}{c} g(z+ct) \label{eq:34} \end{gather}

このように、電場と磁場は定数cの違いはありますが、同じ形で進むことになります。また、電場はx成分だけだったものが、磁場はy成分のみとなっています。つまり、電場と磁場は直交していることが分かります。

6.さいごに

以上のように、Maxwell方程式から波動方程式を導出し、その一般解を解釈することで、波は波形を保ったまま伝搬する事、波は横波であること、電場と磁場は直交していることを示しました。

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